题目详情 - Q20260126105230562
题干
已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1(n\in N^*)$.
(1)写出该数列的前$5$项；
(2)求数列$\{a_n\}$的通项公式.
正确答案
(1)$a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_3=7,\quad a_4=15,\quad a_5=31$(2)$a_n=2^n-1$
解析
（1）$\because a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1(n\in N^*)$
\(\therefore a_2=2a_1+1=3,\quad a_3=2a_2+1=7,\quad a_4=2a_3+1=15,\quad a_5=2a_4+1=31.\)
（2）由$a_{n+1}=2a_n+1$得：$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$,又$a_1+1=2$,
\(\therefore\)数列$\{a_n+1\}$是以$2$为首项，$2$为公比的等比数列，
$\therefore a_n+1=2^n$,
\(\therefore a_n=2^n-1.\)
审核状态: 合格
S09_001_002