题目详情 - Q20260128130703515

由题意，当$n\ge2$时，$a_{n+1}=3a_n+4$，$\therefore a_{n+1}+2=3(a_n+2)$，令$b_n=a_n+2$，$b_2=a_2+2=3\times a_1+4+2=9$， 即$\{b_n\}$是$b_2=9$，公比为$3$的等比数列，$\therefore b_n=b_2q^{n-2}=9\times3^{n-2}=3^n$， $\therefore a_n=3^n-2$，当$n=1$，$a_1=3-2=1$也成立，$\therefore a_n=3^n-2$； 对于$n(2n+1)\ge t(a_n+2)$，即$n(2n+1)\ge t\cdot3^n$，$t\le\frac{n(2n+1)}{3^n}$，令$f(n)=\frac{n(2n+1)}{3^n}$（$n\in\mathbb{N}^*$）， 考察$f(n+1)-f(n)=\frac{(n+1)(2(n+1)+1)}{3^{n+1}}-\frac{n(2n+1)}{3^n}=\frac{-4n^2+5n+3}{3^n}$，其中$y=-4x^2+5x+3$是对称轴为$\frac{5}{8}$，开口向下的抛物线； 当$x=1$时，$y=4 > 0$，当$x=2$时，$y=-3 < 0$，$\therefore f(1) < f(2) < f(3)$，当$n=2$时$f(n)$最大， $\therefore t\le\frac{2\times(2\times2+1)}{3^2}=\frac{10}{9}$； 故答案为：$\frac{10}{9}$。