题目详情 - Q20260128133901706

（1）由$\sqrt{a_n}$，$S_n$，$a_n-2$成等差数列，得$2S_n=\sqrt{a_n}+a_n-2$，① 当$n=1$时，$2\sqrt{a_1}=\sqrt{a_1}+a_1-2$， $\therefore a_1-\sqrt{a_1}-2=0$，得$\sqrt{a_1}=2$（$\sqrt{a_1}=-1$舍去）， 当$n\ge2$时，$2S_{n-1}=\sqrt{a_{n-1}}+a_{n-1}-2$，② ①－②得，$2\sqrt{a_n}=\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}+a_n-a_{n-1}$， $\therefore\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n-1}}=a_n-a_{n-1}=(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n-1}})(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})$， 又$\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n-1}}\ne0$，$\therefore\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}=1$， $\therefore\{\sqrt{a_n}\}$是首项为$2$，公差为$1$的等差数列， $\therefore\sqrt{a_n}=2+n-1=n+1$， 故$a_n=(n+1)^2$； （2）由（1）知$b_n=(-1)^n(n+1)^2$， 当$n$是奇数时，$T_n=-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+7^2-\cdots-(n-1)^2+n^2-(n+1)^2$ $=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+(7-6)(7+6)+\cdots+[n-(n-1)](n+n-1)-(n+1)^2$ $=5+9+13+\cdots+(2n-1)-(n+1)^2=\frac{5+2n-1}{2}\times\frac{n-1}{2}-(n+1)^2$ $=-\frac{n^2+3n+4}{2}$， 当$n$是偶数时，$T_n=-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+7^2-\cdots+n^2-(n+1)^2$ $=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+(7-6)(7+6)+\cdots+[(n+1)-n](n+n+1)$ $=5+9+13+\cdots+(2n+1)=\frac{5+2n+1}{2}\times\frac{n}{2}=\frac{n^2+3n}{2}$， 综上$T_n=\begin{cases}-\frac{n^2+3n+4}{2},\text{n为奇数} \\ \frac{n^2+3n}{2},\text{n为偶数}\end{cases}$.