题目详情 - Q20260128141041336

由$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n-2=0$可得$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+2$， 故$\{a_{n+1}-a_n\}$是首项为$a_2-a_1=2$，公差为$2$的等差数列， 则$a_{n+1}-a_n=2+2(n-1)=2n$， 所以当$n\ge2$时，$a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_2-a_1)+a_1$ $=2(n-1)+2(n-2)+\cdots+2+2=\frac{(2+2n-2)(n-1)}{2}+2=n^2-n+2$，故$a_n=n^2-n+2(n\ge2)$， 当$n=1$时，$a_1=2$也满足上式，所以$a_n=n^2-n+2$，故$b_n=\left[\frac{a_n}{n^2}\right]=\left[1-\frac{n-2}{n^2}\right]$． 易得$b_1=\left[1-\frac{1-2}{1}\right]=2$，$b_2=\left[1-\frac{2-2}{4}\right]=1$， 当$n > 2$时，$n-2 > 0$，$n^2 > 0$，$n^2-(n-2)=n^2-n+2=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4} > 0$，即$n^2 > n-2$， 故$0 < \frac{n-2}{n^2} < 1$，故当$n > 2$时，$b_n=\left[1-\frac{n-2}{n^2}\right]=0$，故$T_{2023}=b_1+b_2=3$． 故选：B