题目详情 - Q20260129123835793

由 $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 可得$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$， ∴当 $n\geq 2$ 时，$\begin{cases}a_2-a_1=1-\frac{1}{2} \\ a_3-a_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \\ \cdots \\ a_n-a_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\end{cases}$ ∴ $a_n-a_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}$，∴ $a_n=1+\frac{n-1}{n}=\frac{2n-1}{n}$， 经验证，$a_1$ 也符合上式，故选 B.