题目详情 - Q20260129202419882
题干
“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了$300$多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记$a_n$为图中虚线上的数$1,3,6,10,\cdots$构成的数列$\{a_n\}$的第$n$项，则$a_{10}$的值为（ ）
选项
A
45
B
55
C
66
D
67
正确答案
B
解析
根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法即可得到数列的通项公式与$a_{10}$.
\n由已知可得数列的递推公式为$a_n-a_{n-1}=n，n\ge 2$且$n\in N^*$，且$a_1=1$，
故$a_n-a_{n-1}=n，a_{n-1}-a_{n-2}=n-1，a_{n-2}-a_{n-3}=n-2，···,a_3-a_2=3，a_2-a_1=2，$
等式左右两边分别相加得$a_n-a_1=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+3+2=\frac{(n+2)(n-1)}{2}=\frac{n^2+n-2}{2}(n\ge 2)$．
$a_n=a_1+\frac{n^2+n-2}{2}=\frac{n^2+n}{2}(n\ge 2)，$
$a_{10}=\frac{10^2+10}{2}=55，$
故选：B．
审核状态: 合格
S09_001_002