题目详情 - Q20260129205021499

化简得出$a_{n+1}=\frac{1}{a_n+1}+1$，根据递推数列的性质，逐个选项进行计算即可求解. \n化简得，$a_{n+1}=\frac{1}{a_n+1}+1$， \n对于①，$a_1=\sqrt{2}$，则$a_2=\frac{1}{\sqrt{2}+1}+1=\sqrt{2}$，因此，$a_1=\sqrt{2}=a_2=a_3=\cdots=a_n$，故①正确； \n对于②，当$0 < a_1 < \sqrt{2}$，则$a_2=1+\frac{1}{1+a_1}>1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$，$a_3=1+\frac{1}{1+a_2}<1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$，可知： 当$n$为偶数时，$a_n>\sqrt{2}$； 当$a_1>\sqrt{2}$时，则$a_2=1+\frac{1}{1+a_1} < 1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$，$a_3=1+\frac{1}{1+a_2}>1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$，可知当$n$为奇数时， $a_n < \sqrt{2}$，故$a_1\ne\sqrt{2}$，则数列$\{a_n\}$中有无穷多项大于$\sqrt{2}$，故②正确； \n对于③，由$a_{n+1}=\frac{1}{a_n+1}+1$和$a_{n+2}=\frac{1}{a_{n+1}+1}+1$，作差可得， $a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{a_n-a_{n+1}}{(1+a_{n+1})(1+a_n)}$，整理得，$\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{(1+a_{n+1})(1+a_n)}=\frac{a_n-a_{n+1}}{(a_n-a_{n+1})}$ 由$(1+a_{n+1})(1+a_n)>0$，可得，$(a_{n+2}-a_{n+1})(a_n-a_{n+1})>0$，若$a_{n+2}>a_{n+1}$则$a_{n+1} < a_n$， 若$a_{n+2} < a_{n+1}$则$a_{n+1}>a_n$，故数列$\{a_n\}$是不具有单调性，故③错误； \n对于④，$a_{n+1}=\frac{1}{a_n+1}+1$，当$a_n=a_{n+1}$时，有$a_n=\frac{1}{a_n+1}+1$，此时$a_n=\sqrt{2}$，显然$|a_{n+2}-a_{n+1}|\le M|a_{n+1}-a_n|$恒成立； 若$a_n\ne a_{n+1}$，由上知，$a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{a_n-a_{n+1}}{(1+a_{n+1})(1+a_n)}$，可得，$\frac{1}{|(1+a_{n+1})(1+a_n)|}=\frac{|a_{n+2}-a_{n+1}|}{|a_n-a_{n+1}|}$， 又$\{a_n\}$为正项数列，可得，$\frac{|a_{n+2}-a_{n+1}|}{|a_n-a_{n+1}|}=\frac{1}{(1+a_{n+1})(1+a_n)} < 1$，即存在$M\in(0,1)$，使$\frac{|a_{n+2}-a_{n+1}|}{|a_n-a_{n+1}|}\le M$，故④正确； 故答案为：①②④.