题目详情 - Q20260129205028228
题干
给出下列命题：
\n①已知数列$\{a_n\}$，$a_n=\frac{1}{n(n+2)}(n\in\mathbb{N}^*)$，则$\frac{1}{120}$是这个数列的第$10$项，且最大项为第$1$项；
\n②数列$\sqrt{2},-\sqrt{5},2\sqrt{2},-\sqrt{11},\cdots$的一个通项公式是$a_n=(-1)^{n+1}\sqrt{3n-1}$；
\n③已知数列$\{a_n\}$，$a_n=kn-5$，且$a_8=11$，则$a_{17}=29$；
\n④已知$a_{n+1}=a_n+3$，则数列$\{a_n\}$为递增数列.
其中正确命题的个数为____.
正确答案
4
解析
令$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{120}$以及数列$\{a_n\}$的单调性，可判定①正确；结合归纳法，可判定②正确；
由$a_8=11$，求得$k=2$，求得$a_n=2n-5$，可判定③正确；由$a_{n+1}-a_n=3>0$，可判定④正确.
\n对于①中，令$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{120}$解得$n=10$，且数列$\{a_n\}$为递减数列，
所以最大项为第$1$项，所以①正确；
\n对于②中，数列$\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{8},\sqrt{11},\cdots$的一个通项公式为$a_n=\sqrt{3n-1}$，
所以，原数列的一个通项公式为$a_n=(-1)^{n+1}\cdot\sqrt{3n-1}$，所以②正确；
\n对于③中，由$a_n=kn-5$且$a_8=11$，即$8k-5=11$，解得$k=2$，所以$a_n=2n-5$，
所以$a_{17}=29$，所以③正确；
\n对于④中，由$a_{n+1}=a_n+3$，可得$a_{n+1}-a_n=3>0$，即$a_{n+1}>a_n$，所以数列为递增数列，所以④正确.
故答案为：$4$.
审核状态: 合格
S09_001_002