题目详情 - Q20260129205346315

(1) 取$B=2$，可得答案； (2) 当$n=2k\ (k\in N^*，1\leq k\leq 1010)$时，由$|u_{2k}-B|>|u_{2k+1}-B|\Rightarrow (u_{2k}-B)^2>(u_{2k+1}-B)^2$，解得$B < \frac{1}{2}$；同理，当$n=2k-1$时得$B>-\frac{1}{2}$，从而得到$B$的范围； (3) 首先证明：对任意$n\in N^*$，①存在$p>N$，使得$a_p>B$；②存在$q>N$，使得$a_q < B$. 用反证法证明①、②可同理得答案；根据①、②可知，存在$n_1>1$，使得$a_{n_1} < B$，存在$n_2>n_1$，使得$a_{n_2}>B$. 由①的证明知，如此递归选择的$n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots$使得$\{a_{n_{2k-1}}\}$递增且$\{a_{n_{2k}}\}$递减即为所求. \n(1) 是，如：取$B=2$，则$|1-2|，|\sqrt{3}-2|，|2-2|$为递减数列．（$B>\frac{2+\sqrt{3}}{2}$时均可）. (2) 当$n=2k\ (k\in N^*，1\leq k\leq 1010)$时，$|u_{2k}-B|>|u_{2k+1}-B|\Rightarrow (u_{2k}-B)^2>(u_{2k+1}-B)^2$，解得$B < \frac{(2022-2k)^2-(2021-2k)^2}{2[(2022-2k)+(2021-2k)]}=\frac{1}{2}$，同理，当$n=2k-1\ (k\in N^*，1\leq k\leq 1011)$时，$|u_{2k-1}-B|>|u_{2k}-B|\Rightarrow (u_{2k-1}-B)^2>(u_{2k}-B)^2$，解得$B>-\frac{1}{2}$， 而此时$\{u_n\}$确为$B$型数列，故$B\in\left(-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}\right)$为所求. (3) 首先证明：对任意$n\in N^*$，①存在$p>N$，使得$a_p>B$；②存在$q>N$，使得$a_q < B$. 用反证法证明①、②可同理得， 若存在$m\in N^*$，使得当$p>m$时，均有$a_p < B$，则由$B$型数列定义，$a_{m+1} < a_{m+2} < \cdots$. 设$d=\frac{1}{3}\min\{|a_n-B|-|a_{n+1}-B|\}$，由题意，$d>0$， 当$p>m$时，$|a_p-(B+d)|>|a_{p+1}-(B+d)|$，而当$1\leq n\leq m$时，$3d < |a_n-B|-|a_{n+1}-B|$，故$|a_n-(B+d)|\geq |a_n-B|-d>|a_{n+1}-B|+d\geq |a_{n+1}-(B+d)|$，因此，$\{a_n\}$也是$(B+d)$型数列，与$B$的唯一性矛盾，证毕. 根据①、②可知，存在$n_1>1$，使得$a_{n_1} < B$，存在$n_2>n_1$，使得$a_{n_2}>B$， 由此，若$a_{n_{2k-1}} < B < a_{n_{2k}}$，则存在$n_{2k+1}>n_{2k}$，使得$a_{n_{2k+1}} < B$，又存在$n_{2k+2}>n_{2k+1}$，使得$a_{n_{2k+2}}>B$，由①的证明知，如此递归选择的$n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots$，使得$\{a_{n_{2k-1}}\}$递增且$\{a_{n_{2k}}\}$递减，即为所求.