题目详情 - Q20260131223657478

【解】 (1) 各项是从$4$开始的偶数， 所以$a_n=2n+2，\ n\in\mathbb{N}^*$. (2) 每一项分母可写成$2^1,\ 2^2,\ 2^3,\ 2^4,\ \cdots$，分子分别比分母少$1$，故所求数列的通项公式可写为$a_n=\frac{2^n-1}{2^n}，\ n\in\mathbb{N}^*$. (3) 因为数列$0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ 0.9999,\ \cdots$的通项公式为$1-\frac{1}{10^n}$而数列$0.3,\ 0.33,\ 0.333,\ 0.3333,\ \cdots$的每一项都是上述数列对应项的$\frac{1}{3}$， 所以$a_n=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)，\ n\in\mathbb{N}^*$. (4) 通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择$(-1)^n$又第$1$项可改写成分数$-\frac{3}{3}$，则每一项的分母依次为$3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots$，可写成$(2n+1)$的形式；分子为$3=1\times3,\ 8=2\times4,\ 15=3\times5,\ 24=4\times6,\ \cdots$，可写成$n（n+2）$的形式.所以此数列的一个通项公式为$a_n=(-1)^n\frac{n（n+2）}{2n+1}，\ n\in\mathbb{N}^*$.