题目详情 - Q20260131234203249

由题意，因为数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n(n\in\mathbb{N}^*)$，所以 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}$ 所以当 $n\geq2$ 时，$a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_3}{a_2}\frac{a_2}{a_1}a_1=\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n-1}\times\cdots\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{n}$; 当 $n=1$ 时，$a_1=1$ 满足上式，所以 $a_n=\frac{1}{n}\ (n\in\mathbb{N}^*)$ .