题目详情 - Q20260203132721561
题干
已知数列$\{a_n\}$满足$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\cdots+\frac{a_n}{n}=1-\frac{1}{2^n}$，则$a_n=$（ ）
选项
A
$1-\frac{1}{2^n}$
B
$\frac{2}{2^{n-3}}$
C
$\frac{1}{2^n}$
D
$\frac{n}{2^n}$
正确答案
D
解析
$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\cdots+\frac{a_n}{n}=1-\frac{1}{2^n}$①，
当$n\geqslant2$时，
$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{n-1}=1-\frac{1}{2^{n-1}}$②，
则①-②得，$\frac{a_n}{n}=\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^n}$，
故$a_n=\frac{n}{2^n}(n\geqslant2)$.
当$n=1$时，$a_1=\frac{1}{2}$，也符合$a_n=\frac{n}{2^n}$.
故选：D.
审核状态: 合格
S09_001_002