题目详情 - Q20260203132726728
题干
已知数列$\{a_n\}$满足$a_2=0$，$a_{2n+1}=a_{2n}+\frac{1}{n}$，$a_{2n+2}=a_{2n+1}-\frac{1}{n+1}(n\in N^*)$，则数列$\{a_n\}$第$2022$项为（ ）
选项
A
$\frac{2021}{2022}$
B
$\frac{2023}{2022}$
C
$\frac{1010}{1011}$
D
$\frac{1012}{1011}$
正确答案
C
解析
$a_{2n+2}=a_{2n+1}-\frac{1}{n+1}=a_{2n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}(n\in N^*)$，
所以$a_{2022}=a_{2020}+\frac{1}{1010}-\frac{1}{1011}$，
$a_{2020}=a_{2018}+\frac{1}{1009}-\frac{1}{1010}$，
…
$a_4=a_2+1-\frac{1}{2}$，
累加得$a_{2022}=a_2+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1010}-\frac{1}{1011})=0+1-\frac{1}{1011}=\frac{1010}{1011}$，
故选：C.
审核状态: 合格
S09_001_002