题目详情 - Q20260211201444177
题干
已知数列$\{a_n\}$的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_1=a_2=3$，且$\forall n\ge2,n\in N^*$都有 $4(S_n-S_{n-1})-S_{n+1}=0$，则( )
选项
A
$\{S_n-2S_{n-1}\}$是等比数列
B
$a_n=\begin{cases}3,n=1, \\ 2^{n-1}+1,n\ge2\end{cases}$
C
$a_n=\begin{cases}3,n=1, \\ 2^{n-1},n\ge2\end{cases}$
D
$S_5=48$
正确答案
D
解析
依题意，因为 $4(S_n-S_{n-1})-S_{n+1}=0$，
所以 $S_{n+1}-2S_n=2S_n-4S_{n-1}=2(S_n-2S_{n-1}),n\ge2$，
又 $S_2-2S_1=(a_1+a_2)-2\times3=0$，
所以 $S_n=2S_{n-1},n\ge2$，又 $S_1=a_1=3$，
所以数列$\{S_n\}$是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以 $S_n=3\times2^{n-1}$.
$n\ge2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=3\times2^{n-2}$，
$n=1$ 时，$a_1=S_1=3$，不符合上式，
所以 $a_n=\begin{cases}3,n=1,\\ 3\times2^{n-2},n\ge2\end{cases}$，
$S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$
$=3+3+6+12+24=48$.
审核状态: 合格
S09_001_002