题目详情 - Q20260211201514262

∵ $S_n=n(2n-1)a_n$， ∴当 $n\ge2$ 时，$S_{n-1}=(n-1)(2n-3)a_{n-1}$， 两式相减可得 $a_n=n(2n-1)a_n-(n-1)(2n-3)a_{n-1}$， ∴ $(2n+1)a_n=(2n-3)a_{n-1}$， ∴ $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2n-3}{2n+1}$， 因此 $a_n=a_1\times\frac{a_2}{a_1}\times\frac{a_3}{a_2}\times\cdots\times\frac{a_n}{a_{n-1}}$ $=\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}\times\frac{3}{7}\times\cdots\times\frac{2n-5}{2n-1}\times\frac{2n-3}{2n+1}$ $=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$， 当 $n=1$ 时，也满足上式， ∴ $a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$，$n\in N^*$.