编辑题目 - Q20260126105230562
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题干
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已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1(n\in N^*)$. (1)写出该数列的前$5$项； (2)求数列$\{a_n\}$的通项公式.
选项
选项 A
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{}
正确答案
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解析
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（1）$\because a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1(n\in N^*)$ \(\therefore a_2=2a_1+1=3,\quad a_3=2a_2+1=7,\quad a_4=2a_3+1=15,\quad a_5=2a_4+1=31.\) （2）由$a_{n+1}=2a_n+1$得：$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$,又$a_1+1=2$, \(\therefore\)数列$\{a_n+1\}$是以$2$为首项，$2$为公比的等比数列， $\therefore a_n+1=2^n$, \(\therefore a_n=2^n-1.\)
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