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正确答案 *

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由$3a_{n+1}+a_n=\left(-\frac{1}{3}\right)^n$,得$3^{n+1}a_{n+1}+3^na_n=(-1)^n$,
若$n=2k-1,k\in N^*$,
则$\begin{cases}3^{2k}a_{2k}+3^{2k-1}a_{2k-1}=-1,\\3^{2k+1}a_{2k+1}+3^{2k}a_{2k}=1,\end{cases}$
故$3^{2k}a_{2k}+3^{2k-1}a_{2k-1}=-1$,
$3^{2k}a_{2k}+3^{2k+1}a_{2k+1}=1$,
所以$3^{2k-1}a_{2k-1}-3^{2k+1}a_{2k+1}=-2$,
解得$3^{2k+1}a_{2k+1}=1$,
故$3^{2k}a_{2k}+3^{2k-1}a_{2k-1}=-1$,
所以$3^{2k}a_{2k}+3^{2k-1}a_{2k-1}=-1$,
得$3^{2k}a_{2k}=-2$,
故$3^{2k}a_{2k}+3^{2k-1}a_{2k-1}=-1$,
所以$a_{2k}=-\frac{2}{3^{2k}}$,
又$3a_1=3,3a_2=-4$,所以$3^na_n=\begin{cases}3+2\times\frac{n-1}{2},&n=2k-1, \\ -4+(-2)\times\frac{n-2}{2},&n=2k,\end{cases}\ k\in N^*$,
即$a_n=\begin{cases}\frac{n+2}{3^n},&n=2k-1, \\ -\frac{n+2}{3^n},&n=2k,\end{cases}\ k\in N^*$,
若$n=2k-1,k\in N^*$,则$\left(\frac{n+2}{3^n}+t+\frac{n}{3^n}\right)\cdot\left(-\frac{n+3}{3^{n+1}}+t+\frac{n+1}{3^{n+1}}\right)=\left(t+\frac{2}{3^n}\right)\left(t-\frac{2}{3^{n+1}}\right)<0$
能成立，
所以$-\frac{2}{3^n}<t<\frac{2}{3^{n+1}}$,根据不等式能成立有$\frac{2}{3} < t < \frac{2}{9}$;
若$n=2k,k\in N^*$,则$\left(-\frac{n+2}{3^n}+t+\frac{n}{3^n}\right)\cdot\left(\frac{n+3}{3^{n+1}}+t-\frac{n+1}{3^{n+1}}\right)=\left(t-\frac{2}{3^n}\right)\left(t+\frac{2}{3^{n+1}}\right)<0$
能成立，
所以$-\frac{2}{3^{n+1}} < t < \frac{2}{3^n}$,根据不等式能成立有$-\frac{2}{27} < t < \frac{2}{9}$;
综上,实数$t$的取值范围是$\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{9}\right)$.