编辑题目 - Q20260128130703515
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题干
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已知数列$\{a_n\}$($n$是正整数)的递推公式为$\begin{cases}a_n=3a_{n-1}+4(n\ge2), \\ a_1=1.\end{cases}$若存在正整数$n$,使得$n(2n+1)\ge t(a_n+2)$,则$t$的最大值是__________.
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{}
正确答案
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解析
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由题意,当$n\ge2$时,$a_{n+1}=3a_n+4$,$\therefore a_{n+1}+2=3(a_n+2)$,令$b_n=a_n+2$,$b_2=a_2+2=3\times a_1+4+2=9$, 即$\{b_n\}$是$b_2=9$,公比为$3$的等比数列,$\therefore b_n=b_2q^{n-2}=9\times3^{n-2}=3^n$, $\therefore a_n=3^n-2$,当$n=1$,$a_1=3-2=1$也成立,$\therefore a_n=3^n-2$; 对于$n(2n+1)\ge t(a_n+2)$,即$n(2n+1)\ge t\cdot3^n$,$t\le\frac{n(2n+1)}{3^n}$,令$f(n)=\frac{n(2n+1)}{3^n}$($n\in\mathbb{N}^*$), 考察$f(n+1)-f(n)=\frac{(n+1)(2(n+1)+1)}{3^{n+1}}-\frac{n(2n+1)}{3^n}=\frac{-4n^2+5n+3}{3^n}$,其中$y=-4x^2+5x+3$是对称轴为$\frac{5}{8}$,开口向下的抛物线; 当$x=1$时,$y=4 > 0$,当$x=2$时,$y=-3 < 0$,$\therefore f(1) < f(2) < f(3)$,当$n=2$时$f(n)$最大, $\therefore t\le\frac{2\times(2\times2+1)}{3^2}=\frac{10}{9}$; 故答案为:$\frac{10}{9}$。
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