编辑题目 - Q20260128130703515
← 取消编辑
实时预览
×
聚焦输入框查看预览
编辑题目
修改题目信息，保存后生效
题型
请选择题型
选择题
填空题
解答题
难度
请选择难度
筑基
提分
培优
难度评价
知识点代码
年级
请选择年级
小学
初中
高中
题干
*
(支持 LaTeX 和 HTML/SVG)
上传图片
已知数列$\{a_n\}$（$n$是正整数）的递推公式为$\begin{cases}a_n=3a_{n-1}+4(n\ge2), \\ a_1=1.\end{cases}$若存在正整数$n$，使得$n(2n+1)\ge t(a_n+2)$，则$t$的最大值是__________.
选项
选项 A
上传图片
选项 B
上传图片
选项 C
上传图片
选项 D
上传图片
选项预览 (JSON格式，可直接编辑)
{}
正确答案
*
解析
*
由题意，当$n\ge2$时，$a_{n+1}=3a_n+4$，$\therefore a_{n+1}+2=3(a_n+2)$，令$b_n=a_n+2$，$b_2=a_2+2=3\times a_1+4+2=9$， 即$\{b_n\}$是$b_2=9$，公比为$3$的等比数列，$\therefore b_n=b_2q^{n-2}=9\times3^{n-2}=3^n$， $\therefore a_n=3^n-2$，当$n=1$，$a_1=3-2=1$也成立，$\therefore a_n=3^n-2$； 对于$n(2n+1)\ge t(a_n+2)$，即$n(2n+1)\ge t\cdot3^n$，$t\le\frac{n(2n+1)}{3^n}$，令$f(n)=\frac{n(2n+1)}{3^n}$（$n\in\mathbb{N}^*$）， 考察$f(n+1)-f(n)=\frac{(n+1)(2(n+1)+1)}{3^{n+1}}-\frac{n(2n+1)}{3^n}=\frac{-4n^2+5n+3}{3^n}$，其中$y=-4x^2+5x+3$是对称轴为$\frac{5}{8}$，开口向下的抛物线； 当$x=1$时，$y=4 > 0$，当$x=2$时，$y=-3 < 0$，$\therefore f(1) < f(2) < f(3)$，当$n=2$时$f(n)$最大， $\therefore t\le\frac{2\times(2\times2+1)}{3^2}=\frac{10}{9}$； 故答案为：$\frac{10}{9}$。
取消
保存修改