编辑题目 - Q20260128142313312
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题干
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在数列$\{a_n\}$中，$a_1=4$，$a_{n+1}=3a_n-2$，若对于任意的$n\in \mathbb{N}^*$，$k(a_n-1)\ge 2n-5$恒成立，则实数$k$的最小值为$\underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad}$.
选项
选项 A
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{}
正确答案
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解析
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由$a_{n+1}=3a_n-2$有$a_{n+1}-1=3(a_n-1)$，且$a_1-1=4-1=3$， 故数列$\{a_n-1\}$为首项为$3$，公比为$3$的等比数列，可得$a_n-1=3\times3^{n-1}=3^n$， 不等式$k(a_n-1)\ge 2n-5$可化为$k\ge\frac{2n-5}{3^n}$，令$f(n)=\frac{2n-5}{3^n}(n\in\mathbb{N}^*)$， 当$n\in\{1,2\}$时$f(n) < 0$；当$n\ge3$时，$f(n) > 0$. 故有当$n\ge3$时，$f(n+1)-f(n)=\frac{2n-3}{3^{n+1}}-\frac{2n-5}{3^n}=-\frac{4(n-3)}{3^{n+1}}$， 则$f(3)=f(4)=\frac{1}{27}$， 当$n\ge4$时，$f(n+1)-f(n)=-\frac{4(n-3)}{3^{n+1}} < 0$，即$f(n+1) < f(n)$， 此时，数列$\{f(n)\}$单调递减， 综上所述，$f(n)\le f(3)=\frac{1}{27}$，可得实数$k$的最小值为$\frac{1}{27}$. 故答案为：$\frac{1}{27}$.
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