编辑题目 - Q20260129123835793
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题干
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在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，则 $a_n$ 等于（ ）
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "$\\frac{1}{n}$", "B": "$\\frac{2n-1}{n}$", "C": "$\\frac{3n-1}{2n}$", "D": "$\\frac{1}{2n}$"}
正确答案
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解析
*
由 $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 可得$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$， ∴当 $n\geq 2$ 时，$\begin{cases}a_2-a_1=1-\frac{1}{2} \\ a_3-a_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \\ \cdots \\ a_n-a_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\end{cases}$ ∴ $a_n-a_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}$，∴ $a_n=1+\frac{n-1}{n}=\frac{2n-1}{n}$， 经验证，$a_1$ 也符合上式，故选 B.
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