编辑题目 - Q20260129124112140
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题干
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在数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_n=\frac{n-1}{n}a_{n-1}$，$n\ge2$，$n\in\mathrm{N}$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（ ）
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "$a_n=\\frac{1}{2n-1}$", "B": "$a_n=\\frac{2}{n(n+1)}$", "C": "$a_n=\\frac{1}{n}$", "D": "$a_n=\\frac{2}{n+1}$"}
正确答案
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解析
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已知$a_n=\frac{n-1}{n}a_{n-1}$，$n\ge2$，$n\in\mathrm{N}$，则$a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\cdots\cdot\frac{a_3}{a_2}\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdot a_1=1\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\cdots\times\frac{n-2}{n-1}\times\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}$（$n\ge2$），当$n=1$时也符合上式，故数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n}$。故选C.
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