编辑题目 - Q20260129203959461
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题干
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对于数列$\{a_n\}$,若存在正整数$k(k\ge2)$,使得$a_k < a_{k-1}$,$a_k < a_{k+1}$,则称$a_k$是数列$\{a_n\}$的“谷值”,$k$是数列$\{a_n\}$的“谷值点”.在数列$\{a_n\}$中,若$a_n=\left|n+\frac{9}{n}-8\right|$,则数列$\{a_n\}$的“谷值点”为( )
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "2", "B": "7", "C": "2,7", "D": "2,3,7"}
正确答案
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解析
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先求出$a_1=2,a_2=\frac{3}{2},a_3=2,a_4=\frac{7}{4},a_5=\frac{6}{5},a_6=\frac{1}{2},a_7=\frac{2}{7},a_8=\frac{9}{8}$, 再得到$n\ge7,n\in\mathbf{N},n+\frac{9}{n}-8>0$,结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解. \n因为$a_n=\left|n+\frac{9}{n}-8\right|$, 所以$a_1=2,a_2=\frac{3}{2},a_3=2,a_4=\frac{7}{4},a_5=\frac{6}{5},a_6=\frac{1}{2},a_7=\frac{2}{7},a_8=\frac{9}{8}$, 当$n\ge7,n\in\mathbf{N},n+\frac{9}{n}-8>0$,所以$a_n=\left|n+\frac{9}{n}-8\right|=n+\frac{9}{n}-8$, 因为函数$y=x+\frac{9}{x}-8$在$[7,+\infty)$上单调递增, 所以$n\ge7$时,数列$a_n=n+\frac{9}{n}-8$为单调递增数列, 所以$a_2 < a_1,a_2 < a_3,a_7 < a_6,a_7 < a_8$, 所以数列$\{a_n\}$的“谷值点”为$2,7$. 故选:C.
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