编辑题目 - Q20260129203959461
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题干
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对于数列$\{a_n\}$，若存在正整数$k(k\ge2)$，使得$a_k < a_{k-1}$，$a_k < a_{k+1}$，则称$a_k$是数列$\{a_n\}$的“谷值”，$k$是数列$\{a_n\}$的“谷值点”.在数列$\{a_n\}$中，若$a_n=\left|n+\frac{9}{n}-8\right|$，则数列$\{a_n\}$的“谷值点”为（ ）
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "2", "B": "7", "C": "2，7", "D": "2，3，7"}
正确答案
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解析
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先求出$a_1=2，a_2=\frac{3}{2}，a_3=2，a_4=\frac{7}{4}，a_5=\frac{6}{5}，a_6=\frac{1}{2}，a_7=\frac{2}{7}，a_8=\frac{9}{8}$， 再得到$n\ge7，n\in\mathbf{N}，n+\frac{9}{n}-8>0$，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解. \n因为$a_n=\left|n+\frac{9}{n}-8\right|$， 所以$a_1=2，a_2=\frac{3}{2}，a_3=2，a_4=\frac{7}{4}，a_5=\frac{6}{5}，a_6=\frac{1}{2}，a_7=\frac{2}{7}，a_8=\frac{9}{8}$， 当$n\ge7，n\in\mathbf{N}，n+\frac{9}{n}-8>0$，所以$a_n=\left|n+\frac{9}{n}-8\right|=n+\frac{9}{n}-8$， 因为函数$y=x+\frac{9}{x}-8$在$[7,+\infty)$上单调递增， 所以$n\ge7$时，数列$a_n=n+\frac{9}{n}-8$为单调递增数列， 所以$a_2 < a_1，a_2 < a_3，a_7 < a_6，a_7 < a_8$， 所以数列$\{a_n\}$的“谷值点”为$2，7$. 故选：C.
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