编辑题目 - Q20260129204005441
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题干
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在数列$\{a_n\}$中，对任意的$n\in\mathbf{N}^*$都有$a_n>0$，且$\left|a_{n+1}\right|^2-a_{n+1}=a_n$则下列结论正确的是（ ） \n①对于任意的$n\ge3$，都有$a_n\ge2$; \n②对于任意$a_1>0$，数列$\{a_n\}$不可能为常数列; \n③若$0 < a_1 < 2$，则数列$\{a_n\}$为递增数列; \n④若$a_1>2$，则当$n\ge2$时，$2 < a_n < a_1$
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "①②③", "B": "②③④", "C": "③④", "D": "①④"}
正确答案
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解析
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对数列递推关系变形得到$a_n-2=a_{n+1}^2-a_{n+1}-2=(a_{n+1}-2)(a_{n+1}+1)$，得到$a_n-2$与$a_{n+1}-2$同号，当$0 < a_1 < 2$时，$0 < a_n < 2$，①错误； 当$a_1=2$时，推导出此时$a_n$为常数列，②错误； 作差法结合$0 < a_1 < 2$时，$0 < a_{n+1} < 2$，求出数列$\{a_n\}$为递增数列，③正确； 由$a_n-2$与$a_{n+1}-2$同号，得到当$a_1>2$，有$a_n>2$，结合作差法得到$\{a_n\}$为递减数列，④正确. \n\n因为$a_{n+1}^2-a_{n+1}=a_n$，所以$a_n-2=a_{n+1}^2-a_{n+1}-2=(a_{n+1}-2)(a_{n+1}+1)$， 因为任意的$n\in\mathbf{N}^*$都有$a_n>0$，所以$a_{n+1}+1>0$， 所以$a_n-2$与$a_{n+1}-2$同号，当$0 < a_1 < 2$，则$n\ge3$时，都有$0 < a_n < 2$，①错误； \n当$a_1=2$时，$a_2-2=\frac{a_1-2}{a_2+1}=0$，所以$a_2=2$，同理得：$a_n=2(n\ge3)$，此时$\{a_n\}$为常数列，②错误； \n$a_{n+1}-a_n=-a_{n+1}^2+2a_{n+1}=-(a_{n+1}-1)^2+1$， 由A选项知：若$0 < a_1 < 2$，则$0 < a_{n+1} < 2$， 所以$a_{n+1}-a_n=-a_{n+1}^2+2a_{n+1}=-(a_{n+1}-1)^2+1>-1+1=0$， 则数列$\{a_n\}$为递增数列，③正确； \n由$a_n-2$与$a_{n+1}-2$同号，当$a_1>2$，则$n\ge2$时，都有$a_n>2$， 且此时$a_{n+1}-a_n=-a_{n+1}^2+2a_{n+1}=-(a_{n+1}-1)^2+1 < -1+1=0$， 所以数列$\{a_n\}$为递减数列， \n综上：若$a_1>2$，则当$n\ge2$时，$2 < a_n < a_1$，④正确. 故选：C.
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