编辑题目 - Q20260129205028228
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题干
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给出下列命题： \n①已知数列$\{a_n\}$，$a_n=\frac{1}{n(n+2)}(n\in\mathbb{N}^*)$，则$\frac{1}{120}$是这个数列的第$10$项，且最大项为第$1$项； \n②数列$\sqrt{2},-\sqrt{5},2\sqrt{2},-\sqrt{11},\cdots$的一个通项公式是$a_n=(-1)^{n+1}\sqrt{3n-1}$； \n③已知数列$\{a_n\}$，$a_n=kn-5$，且$a_8=11$，则$a_{17}=29$； \n④已知$a_{n+1}=a_n+3$，则数列$\{a_n\}$为递增数列. 其中正确命题的个数为____.
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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正确答案
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解析
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令$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{120}$以及数列$\{a_n\}$的单调性，可判定①正确；结合归纳法，可判定②正确； 由$a_8=11$，求得$k=2$，求得$a_n=2n-5$，可判定③正确；由$a_{n+1}-a_n=3>0$，可判定④正确. \n对于①中，令$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{120}$解得$n=10$，且数列$\{a_n\}$为递减数列， 所以最大项为第$1$项，所以①正确； \n对于②中，数列$\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{8},\sqrt{11},\cdots$的一个通项公式为$a_n=\sqrt{3n-1}$， 所以，原数列的一个通项公式为$a_n=(-1)^{n+1}\cdot\sqrt{3n-1}$，所以②正确； \n对于③中，由$a_n=kn-5$且$a_8=11$，即$8k-5=11$，解得$k=2$，所以$a_n=2n-5$， 所以$a_{17}=29$，所以③正确； \n对于④中，由$a_{n+1}=a_n+3$，可得$a_{n+1}-a_n=3>0$，即$a_{n+1}>a_n$，所以数列为递增数列，所以④正确. 故答案为：$4$.
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