编辑题目 - Q20260129205028228
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题干
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给出下列命题: \n①已知数列$\{a_n\}$,$a_n=\frac{1}{n(n+2)}(n\in\mathbb{N}^*)$,则$\frac{1}{120}$是这个数列的第$10$项,且最大项为第$1$项; \n②数列$\sqrt{2},-\sqrt{5},2\sqrt{2},-\sqrt{11},\cdots$的一个通项公式是$a_n=(-1)^{n+1}\sqrt{3n-1}$; \n③已知数列$\{a_n\}$,$a_n=kn-5$,且$a_8=11$,则$a_{17}=29$; \n④已知$a_{n+1}=a_n+3$,则数列$\{a_n\}$为递增数列. 其中正确命题的个数为____.
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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正确答案
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解析
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令$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{120}$以及数列$\{a_n\}$的单调性,可判定①正确;结合归纳法,可判定②正确; 由$a_8=11$,求得$k=2$,求得$a_n=2n-5$,可判定③正确;由$a_{n+1}-a_n=3>0$,可判定④正确. \n对于①中,令$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{120}$解得$n=10$,且数列$\{a_n\}$为递减数列, 所以最大项为第$1$项,所以①正确; \n对于②中,数列$\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{8},\sqrt{11},\cdots$的一个通项公式为$a_n=\sqrt{3n-1}$, 所以,原数列的一个通项公式为$a_n=(-1)^{n+1}\cdot\sqrt{3n-1}$,所以②正确; \n对于③中,由$a_n=kn-5$且$a_8=11$,即$8k-5=11$,解得$k=2$,所以$a_n=2n-5$, 所以$a_{17}=29$,所以③正确; \n对于④中,由$a_{n+1}=a_n+3$,可得$a_{n+1}-a_n=3>0$,即$a_{n+1}>a_n$,所以数列为递增数列,所以④正确. 故答案为:$4$.
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