编辑题目 - Q20260129205040273
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题干
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已知数列$\{a_n\}$中，$a_1=2，a_2=\frac{1}{2}，a_na_{n+2}=1(n\in\mathbf{N}^*)$. \n(1)求$a_3，a_5$的值； \n(2)求$\{a_n\}$的前$2021$项和$S_{2021}$.
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{}
正确答案
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解析
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（1）根据递推公式，利用代入法进行求解即可； （2）根据递推公式可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可. \n（1）当$n=1$时，$a_1a_3=1$，所以$a_3=\frac{1}{2}$； 当$n=3$时，$a_3a_5=1$，所以$a_5=2$； （2）当$n=2$时，$a_2a_4=1$，所以$a_4=2$； 由$a_na_{n+2}=1$知：$a_{n+2}a_{n+4}=1$，所以$a_n=a_{n+4}$，故数列$\{a_n\}$是以$4$为周期的周期数列， 即$a_{4n}=a_4=2，a_{4n+1}=a_1=2，a_{4n+2}=a_2=\frac{1}{2}，a_{4n+3}=a_3=\frac{1}{2}$， 所以$S_{2021}=505(a_1+a_2+a_3+a_4)+a_{2021}=505(a_1+a_2+a_3+a_4)+a_1=2527$.
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