编辑题目 - Q20260130173834350
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题干
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已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\frac{1}{2}，a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}$，则$a_{2022}=$（ ）
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "$\\frac{1}{2020}$", "B": "$\\frac{1}{2021}$", "C": "$\\frac{1}{2022}$", "D": "$\\frac{1}{2023}$"}
正确答案
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解析
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根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可. \n因为$a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}$，所以$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=1$. 又$a_1=\frac{1}{2}$，故$\frac{1}{a_1}=2$， 所以数列$\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$是首项为$2$，公差为$1$的等差数列，所以$\frac{1}{a_n}=n+1$，所以$a_n=\frac{1}{n+1}$，则$a_{2022}=\frac{1}{2022+1}=\frac{1}{2023}$. 故选：D.
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