编辑题目 - Q20260131222249376
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删去正整数数列$1，2，3，4，5，\cdots$中的所有完全平方数与立方数（如$4，8$），得到一个新数列，则这个数列的第$2020$项是（ ）
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{"A": "2072", "B": "2073", "C": "2074", "D": "2075"}
正确答案
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解析
*
因为$45^2=2025，46^2=2116，2020 < 2025$，所以从数列$1^2，2，3，2^2，5，6，7，8，3^2，\cdots，45^2$中去掉$45$个平方数，因为$12^3=1728 < 2025 < 13^3=2197$，所以从数列$1^2，2，3，2^2，5，6，7，8，3^2，\cdots，45^2$中去掉$12$个立方数，又$3^6 < 2025 < 4^6$，所以在数列$1^2，2，3，2^2，5，6，7，8，3^2，\cdots，45^2$中有$3$个数既是平方数，又是立方数，重复去掉了$3$个既是平方数，又是立方数的数，所以从数列$1^2，2，3，2^2，5，6，7，8，3^2，\cdots，45^2$中去掉平方数和立方数后还有$2025-45-12+3=1971$（项），此时距第$2020$项还差$2020-1971=49$（项），所以这个数列的第$2020$项是$2025+49=2074$.
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