编辑题目 - Q20260131225742927
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题干
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已知数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n=\frac{(-1)^n}{2n-1}\cdot\frac{n+1}{2n+1}$，$n\in N^*$。 （1）写出它的第$10$项； （2）判断$\frac{2}{33}$是不是该数列中的项； （3）求$a_{n+1}$及$a_{2n}$。
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正确答案
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解析
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【解】（1）$a_{10}=\frac{(-1)^{10}}{2\times10-1}\cdot\frac{10+1}{2\times10+1}=\frac{11}{19\times21}=\frac{11}{399}$； （2）令$a_n=\frac{(-1)^n}{2n-1}\cdot\frac{n+1}{2n+1}=\frac{2}{33}$， 当$n$为偶数时，$\frac{n+1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2}{33}$，整理得$8n^2-33n-35=0$， 解得$n=\frac{7}{8}$或$n=5$，因为$n\in N^*$且$n$为偶数，所以原方程无解； 当$n$为奇数时，$\because n\in N^*，\therefore a_n<0$， $\therefore\frac{2}{33}$不是该数列中的项. 综上所述，$\frac{2}{33}$不是该数列中的项. （3）$a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{[2(n+1)-1]}\cdot\frac{(n+1)+1}{[2(n+1)+1]}$ $=\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)(2n+3)}\cdot(n+2)$； $a_{2n}=\frac{(-1)^{2n}}{(2\times2n-1)}\cdot\frac{2n+1}{(2\times2n+1)}=\frac{2n+1}{(4n-1)(4n+1)}.$
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