编辑题目 - Q20260131234152783
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题干
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已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=n\left(\frac{2}{3}\right)^n$ ，$n\in\mathbb{N}^*$ .试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由。
选项
选项 A
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选项 B
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正确答案
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解析
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【解】 方法一 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{n\left(\frac{2}{3}\right)^n}=\frac{(n+1)\left(\frac{2}{3}\right)}{n}=\frac{n+1}{n}\frac{2}{3}$ ; 当 $n<2$ 时， $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ ，即 $a_{n+1}>a_n$ ; 当 $n=2$ 时， $\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$ ，即 $a_{n+1}=a_n$ ; 当 $n>2$ 时， $\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ ，即 $a_{n+1}<a_n$ . 则 $a_1 < a_2=a_3 > a_4 > a_5 > \cdots$ 故数列 $\{a_n\}$ 有最大项，为第 $2$ 项和第 $3$ 项， 且 $a_2=a_3=2\times\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{8}{9}$ . 方法二 根据题意，令 $\begin{cases}a_{n-1}\leq a_n \\ a_n\geq a_{n+1}\end{cases}$ 即$\begin{cases}(n-1)\times\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\leq n\left(\frac{2}{3}\right)^n , \\ n\left(\frac{2}{3}\right)^n\geq (n+1)\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\end{cases}$ , 解得 $2\leq n<3$. 又 $n\in\mathbb{N}^*$ ,则 $n=2$ 或 $n=3$. 故数列 $\{a_n\}$ 有最大项，为第 $2$ 项和第 $3$ 项， 且 $a_2=a_3=2\times\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{8}{9}$
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