编辑题目 - Q20260131234203249
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题干
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已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n(n\in\mathbb{N}^*)$，则 $a_n$ 等于（ ）
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "$n+1$", "B": "$n$", "C": "$\\frac{1}{n+1}$", "D": "$\\frac{1}{n}$"}
正确答案
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解析
*
由题意，因为数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n(n\in\mathbb{N}^*)$，所以 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}$ 所以当 $n\geq2$ 时，$a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_3}{a_2}\frac{a_2}{a_1}a_1=\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n-1}\times\cdots\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{n}$; 当 $n=1$ 时，$a_1=1$ 满足上式，所以 $a_n=\frac{1}{n}\ (n\in\mathbb{N}^*)$ .
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