编辑题目 - Q20260131234209647
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题干
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已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\ (n\geq2)$ ，求 $a_n$.
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{}
正确答案
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解析
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【解】 因为 $a_n=a_{n-1}+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\ (n\geq2)$ , 所以 $a_n-a_{n-1}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\ (n\geq2)$ . 所以当 $n\geq2$ 时，$a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_2-a_1)+a_1$ $=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})+\cdots+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+1=\sqrt{n+1}-\sqrt{2}+1.$ 又当 $n=1$ 时，$a_1=1$ 也符合上式， 所以 $a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{2}+1,\ n\in\mathbb{N}^*$.
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