编辑题目 - Q20260201105108284
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题干
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已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2n^2-n+2.$ （1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； （2）若 $b_n=a_n+100n-2^n，$求数列 $\{b_n\}$ 的最大项是该数列的第几项。
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正确答案
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解析
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【解】（1）当 $n\ge2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2-n+2)-(2n^2-5n+5)=4n-3，$ 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=3，$不满足上式，故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\begin{cases}3,n=1，\\4n-3,n\ge2.\end{cases}$ （2）由已知得 $b_1=3+100-2=101，$ 当 $n\ge2$ 时，$b_n=a_n+100n-2^n=4n-3+100n-2^n=104n-3-2^n，$令 $\begin{cases}b_n\ge b_{n+1},n\in N^*,\\b_n\ge b_{n-1},n\in N^*.\end{cases}$ 即 $\begin{cases}104n-3-2^n\ge104(n+1)-3-2^{n+1},n\in N^*,\\104n-3-2^n\ge104(n-1)-3-2^{n-1},n\in N^*.\end{cases}$ 得 $\begin{cases}2^n\ge104,\\104\ge2^{n-1},n\in N^*,\end{cases}$即 $n=7，$ 所以当 $n\ge2$ 时，$\{b_n\}$ 的最大项为第 $7$ 项， 又 $b_7=104\times7-3-2^7=597>b_1，$ 所以数列 $\{b_n\}$ 的最大项是该数列的第 $7$ 项。
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