编辑题目 - Q20260201105112562
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题干
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（1）在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2，$且 $a_{n+1}=a_n+\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)，$求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； （2）已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\frac{1}{2}，\ a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}\ (n\ge2)，$求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。
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正确答案
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解析
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【解】（1）由题设 $a_{n+1}-a_n=\ln\frac{n+1}{n}.$ 所以 $a_n=(a_n-a_{n-1})+\cdots+(a_2-a_1)+a_1=\ln\frac{n}{n-1}+\cdots+\ln\frac{2}{1}+2=2+\ln n，\ \text{且}\ n\ge2，$ 显然 $a_1=\ln1+2=2$ 满足上式， 所以 $a_n=2+\ln n，\ n\in N^*.$ （2）因为 $a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}\ (n\ge2)，$ 所以当 $n\ge2$ 时，$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}，$ 所以 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}，\ \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\frac{n-2}{n}，\ \cdots，\ \frac{a_3}{a_2}=\frac{2}{4}，\ \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}，$ 以上 $n-1$ 个式子左右两边分别相乘，得 $\frac{a_n}{a_1}=\frac{n-1}{n+1}\times\frac{n-2}{n}\times\cdots\times\frac{2}{4}\times\frac{1}{3}，$ 即 $\frac{a_n}{a_1}=\frac{1}{n+1}\times\frac{1}{n}\times2\times1，$ 所以 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}\ \ (n\ge2).$ 当 $n=1$ 时，$a_1=\frac{1}{2}，$符合上式. 所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}，\ n\in N^*.$
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