编辑题目 - Q20260202141530330
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题干
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记$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，已知$a_2=1,2S_n=na_n$. （1）求$\{a_n\}$的通项公式； （2）求数列$\left\{\frac{a_{n+1}}{2^n}\right\}$的前$n$项和$T_n$.
选项
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正确答案
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解析
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（1）$2S_n=na_n$①， 当$n\ge2$时,$2S_{n-1}=(n-1)a_{n-1}$②， 由①-②得,$2a_n=na_n-(n-1)a_{n-1}$， 即$(n-1)a_{n-1}=(n-2)a_n$. 当$n=2$时,$a_1=0$； 当$n\ge3$时,$\frac{a_{n-1}}{n-2}=\frac{a_n}{n-1}$. ∴当$n\ge2$时,$\left\{\frac{a_n}{n-1}\right\}$为常数列， ∴$\frac{a_n}{n-1}=\frac{a_2}{1}=1$,∴$a_n=n-1(n\ge2)$. 由$2S_n=na_n$,当$n=1$时,$2a_1=a_1,a_1=0=1-1$. ∴$a_n=n-1(n\in\mathbb{N}_+)$. （2）由（1）知,$\frac{a_{n+1}}{2^n}=n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n$ $T_n=1\times\left(\frac{1}{2}\right)^1+2\times\left(\frac{1}{2}\right)^2+3\times\left(\frac{1}{2}\right)^3+\cdots+n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n$③， $\frac{1}{2}T_n=1\times\left(\frac{1}{2}\right)^2+2\times\left(\frac{1}{2}\right)^3+\cdots+(n-1)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n+n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$④， 由③-④得$\frac{1}{2}T_n=\frac{\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}{1-\frac{1}{2}}-n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$， $\therefore\ T_n=2-(2+n)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n$.
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