编辑题目 - Q20260203132717617
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题干
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数列$\{a_n\}$满足$na_{n+1}=(n+1)a_n+1(n\in N^*)$，且$a_1=1$，则$a_{2022}=$（ ）
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "4043", "B": "4044", "C": "2021", "D": "2022"}
正确答案
*
解析
*
因为$na_{n+1}=(n+1)a_n+1(n\in N^*)$，所以$\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{a_n}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$， 所以$\frac{a_{n+1}}{n+1}+\frac{1}{n+1}=\frac{a_n}{n}+\frac{1}{n}$，即$\{\frac{a_n}{n}+\frac{1}{n}\}$为常数列，又$a_1=1$， 所以$\frac{a_n}{n}+\frac{1}{n}=\frac{a_1}{1}+\frac{1}{1}=2，$ 所以$\frac{a_{2022}}{2022}+\frac{1}{2022}=2$，解得$a_{2022}=4043，$ 故选：A.
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