编辑题目 - Q20260203132721561
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题干
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已知数列$\{a_n\}$满足$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\cdots+\frac{a_n}{n}=1-\frac{1}{2^n}$，则$a_n=$（ ）
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "$1-\\frac{1}{2^n}$", "B": "$\\frac{2}{2^{n-3}}$", "C": "$\\frac{1}{2^n}$", "D": "$\\frac{n}{2^n}$"}
正确答案
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解析
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$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\cdots+\frac{a_n}{n}=1-\frac{1}{2^n}$①， 当$n\geqslant2$时， $a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{n-1}=1-\frac{1}{2^{n-1}}$②， 则①-②得，$\frac{a_n}{n}=\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^n}$， 故$a_n=\frac{n}{2^n}(n\geqslant2)$. 当$n=1$时，$a_1=\frac{1}{2}$，也符合$a_n=\frac{n}{2^n}$. 故选：D.
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