编辑题目 - Q20260203132726728
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题干
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已知数列$\{a_n\}$满足$a_2=0$，$a_{2n+1}=a_{2n}+\frac{1}{n}$，$a_{2n+2}=a_{2n+1}-\frac{1}{n+1}(n\in N^*)$，则数列$\{a_n\}$第$2022$项为（ ）
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "$\\frac{2021}{2022}$", "B": "$\\frac{2023}{2022}$", "C": "$\\frac{1010}{1011}$", "D": "$\\frac{1012}{1011}$"}
正确答案
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解析
*
$a_{2n+2}=a_{2n+1}-\frac{1}{n+1}=a_{2n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}(n\in N^*)$， 所以$a_{2022}=a_{2020}+\frac{1}{1010}-\frac{1}{1011}$， $a_{2020}=a_{2018}+\frac{1}{1009}-\frac{1}{1010}$， … $a_4=a_2+1-\frac{1}{2}$， 累加得$a_{2022}=a_2+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1010}-\frac{1}{1011})=0+1-\frac{1}{1011}=\frac{1010}{1011}$， 故选：C.
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