编辑题目 - Q20260204164755294
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题干
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已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=1，S_n=\frac{(n+1)a_n}{2}$，则$a_{2020}=$（ ）.
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "2018", "B": "2019", "C": "2020", "D": "2021"}
正确答案
*
解析
*
因为$a_1=1，S_n=\frac{(n+1)a_n}{2}$， 所以当$n\ge2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{(n+1)a_n}{2}-\frac{na_{n-1}}{2}$，化为$\frac{a_n}{n}=\frac{a_{n-1}}{n-1}$. 从而$\frac{a_n}{n}=\frac{a_{n-1}}{n-1}=\cdots=\frac{a_2}{2}=\frac{a_1}{1}=1，所以a_n=n.适合n=1.$ 所以$a_n=n$. 故$a_{2020}=2020$. 故选：C.
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