编辑题目 - Q20260210222214500
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题干
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已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=a_n+\frac{8(n+1)}{(2n+1)^2(2n+3)^2},\ a_1=\frac{8}{9}$，求数列$\{a_n\}$的通项公式.
选项
选项 A
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{}
正确答案
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解析
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由$a_{n+1}=a_n+\frac{8(n+1)}{(2n+1)^2(2n+3)^2}$，得$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(2n+1)^2}-\frac{1}{(2n+3)^2}$， ∴$a_n-a_{n-1}=\frac{1}{(2n-1)^2}-\frac{1}{(2n+1)^2},\cdots,a_2-a_1=\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}$， 则$(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_2-a_1)$ $=\left(\frac{1}{(2n-1)^2}-\frac{1}{(2n+1)^2}\right)+\left(\frac{1}{(2n-3)^2}-\frac{1}{(2n-1)^2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}\right)$， 化简得$a_n-a_1=\frac{1}{3^2}-\frac{1}{(2n+1)^2}$，又$a_1=\frac{8}{9}$， 所以$a_n=\frac{(2n+1)^2-1}{(2n+1)^2}$.
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