编辑题目 - Q20260210222229488
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题干
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（1）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=2n^2-3n$，求$\{a_n\}$的通项公式；\n （2）已知数列$\{a_n\}$中，$a_1=\frac{1}{2},\ a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}(n\ge2)$，求数列$\{a_n\}$的通项公式。
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正确答案
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解析
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（1）当$n=1$时，$a_1=S_1=2-3=-1$， 当$n\ge2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5$， 当$n=1$时，$a_1=-1$，符合上式， 所以$\{a_n\}$的通项公式是$a_n=4n-5,n\in N^*$。 （2）因为$a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}(n\ge2)$，所以当$n\ge2$时，$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$， 所以$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1},\ \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=\frac{n-2}{n},\cdots,\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}{4},\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}$， 以上$n-1$个式子左右两边分别相乘， 得$\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\cdots\frac{a_3}{a_2}\cdot\frac{a_2}{a_1}=\frac{n-1}{n+1}\times\frac{n-2}{n}\times\cdots\times\frac{2}{4}\times\frac{1}{3}$，即$\frac{a_n}{a_1}=\frac{1}{n+1}\times\frac{1}{n}\times1\times2\times1$， 所以$a_n=\frac{1}{n(n+1)}(n\ge2)$。 当$n=1$时，$a_1=\frac{1}{2}$，符合上式， 所以数列$\{a_n\}$的通项公式是$a_n=\frac{1}{n(n+1)},n\in N^*$。
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