编辑题目 - Q20260211201444177
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题干
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已知数列$\{a_n\}$的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_1=a_2=3$，且$\forall n\ge2,n\in N^*$都有 $4(S_n-S_{n-1})-S_{n+1}=0$，则( )
选项
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{"A": "$\\{S_n-2S_{n-1}\\}$是等比数列", "B": "$a_n=\\begin{cases}3,n=1, \\\\ 2^{n-1}+1,n\\ge2\\end{cases}$", "C": "$a_n=\\begin{cases}3,n=1, \\\\ 2^{n-1},n\\ge2\\end{cases}$", "D": "$S_5=48$"}
正确答案
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解析
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依题意，因为 $4(S_n-S_{n-1})-S_{n+1}=0$， 所以 $S_{n+1}-2S_n=2S_n-4S_{n-1}=2(S_n-2S_{n-1}),n\ge2$， 又 $S_2-2S_1=(a_1+a_2)-2\times3=0$， 所以 $S_n=2S_{n-1},n\ge2$，又 $S_1=a_1=3$， 所以数列$\{S_n\}$是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以 $S_n=3\times2^{n-1}$. $n\ge2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=3\times2^{n-2}$， $n=1$ 时，$a_1=S_1=3$，不符合上式， 所以 $a_n=\begin{cases}3,n=1,\\ 3\times2^{n-2},n\ge2\end{cases}$， $S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ $=3+3+6+12+24=48$.
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