编辑题目 - Q20260211201514262
← 取消编辑
实时预览
×
聚焦输入框查看预览
编辑题目
修改题目信息，保存后生效
题型
请选择题型
选择题
填空题
解答题
难度
请选择难度
筑基
提分
培优
难度评价
知识点代码
年级
请选择年级
小学
初中
高中
题干
*
(支持 LaTeX 和 HTML/SVG)
上传图片
在数列$\{a_n\}$中，$a_1=\frac{1}{3}$，前 $n$ 项和 $S_n=n(2n-1)a_n$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为( )
选项
选项 A
上传图片
选项 B
上传图片
选项 C
上传图片
选项 D
上传图片
选项预览 (JSON格式，可直接编辑)
{"A": "$a_n=\\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$", "B": "$a_n=\\frac{3n-2}{2n+1}$", "C": "$a_n=2-\\frac{n+4}{2^n+1}$", "D": "$a_n=2-\\frac{n+3}{2^n}$"}
正确答案
*
解析
*
∵ $S_n=n(2n-1)a_n$， ∴当 $n\ge2$ 时，$S_{n-1}=(n-1)(2n-3)a_{n-1}$， 两式相减可得 $a_n=n(2n-1)a_n-(n-1)(2n-3)a_{n-1}$， ∴ $(2n+1)a_n=(2n-3)a_{n-1}$， ∴ $\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2n-3}{2n+1}$， 因此 $a_n=a_1\times\frac{a_2}{a_1}\times\frac{a_3}{a_2}\times\cdots\times\frac{a_n}{a_{n-1}}$ $=\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}\times\frac{3}{7}\times\cdots\times\frac{2n-5}{2n-1}\times\frac{2n-3}{2n+1}$ $=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$， 当 $n=1$ 时，也满足上式， ∴ $a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$，$n\in N^*$.
取消
保存修改