编辑题目 - Q20260425172139820
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题干
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若$-\frac{\pi}{2}<\alpha<-\frac{\pi}{4}$，则点$P(\sin\alpha+\cos\alpha,\tan\alpha-\sin\alpha)$位于（ ）
选项
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选项 B
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选项 C
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{"A": "第一象限", "B": "第二象限", "C": "第三象限", "D": "第四象限"}
正确答案
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解析
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【分析】结合函数$y=\sin x+\cos x$在$[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}]$的单调性可判断$\sin\alpha+\cos\alpha$的符号；利用奇数关系，将正切化为正弦和余弦，结合$\sin\alpha$，$\cos\alpha$的符号即可判断$\tan\alpha-\sin\alpha$的符号． 【详解】解：因为函数$y=\sin x+\cos x$在$[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}]$上单调递增， 所以$\sin(-\frac{\pi}{2})+\cos(-\frac{\pi}{2})<\sin\alpha+\cos\alpha<\sin(-\frac{\pi}{4})+\cos(-\frac{\pi}{4})$， 即$-1<\sin\alpha+\cos\alpha<0$； 因为$\tan\alpha-\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\sin\alpha=\sin\alpha(\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha})$， 又因为$-\frac{\pi}{2}<\alpha<-\frac{\pi}{4}$时，$\cos\alpha>0$，$\sin\alpha<0$，$1-\cos\alpha>0$， 所以$\sin\alpha(\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha})<0$，即$\tan\alpha-\sin\alpha<0$． 所以点$P(\sin\alpha+\cos\alpha,\tan\alpha-\sin\alpha)$位于第三象限． 故选：C．
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