编辑题目 - Q20260425173141839
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题干
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若$\alpha\in(0,\pi)$，且$\cos\alpha-\sin\alpha=\frac{1}{2}$，则$\tan\alpha=$（ ）
选项
选项 A
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选项 B
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选项 C
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选项 D
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{"A": "$\\frac{4+\\sqrt{7}}{5}$", "B": "$\\frac{4-\\sqrt{7}}{5}$", "C": "$\\frac{4+\\sqrt{7}}{3}$", "D": "$\\frac{4-\\sqrt{7}}{3}$"}
正确答案
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解析
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【分析】先左右两边平方，得出$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{8}$，再用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值。 【详解】因为$\cos\alpha-\sin\alpha=\frac{1}{2}$，所以$(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\frac{1}{4}$， 即$1-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}$，所以$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{8}$， 所以$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{3}{8}$，得$\frac{\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{3}{8}$， 解得$\tan\alpha=\frac{4+\sqrt{7}}{3}$或$\tan\alpha=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$， 因为$\alpha\in(0,\pi)$，且$\cos\alpha-\sin\alpha=\frac{1}{2}>0$， 所以$\alpha\in(0,\frac{\pi}{4})$，所以$0<\tan\alpha<1$，所以$\tan\alpha=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$. 故选：D.
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