编辑题目 - Q20260425174340275
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题干
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已知$\tan\alpha=\frac{1}{2},\ \alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$,则$\sin\alpha-\cos\alpha$=______.
选项
选项 A
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{}
正确答案
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解析
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【分析】利用三角函数的基本关系式结合$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$可求得$\sin\alpha$和$\cos\alpha$的具体值，则$\sin\alpha-\cos\alpha$可求. 【详解】因为$\tan\alpha=\frac{1}{2}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$， 由$\begin{cases}\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{2},\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5},\\\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5},\end{cases}$或$\begin{cases}\sin\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5},\\\cos\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5},\end{cases}$, 又$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$， 所以$\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5},\ \cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$， 所以$\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$. 故答案为：$-\frac{\sqrt{5}}{5}$.
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