编辑题目 - Q20260425174423313
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题干
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已知$\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=2$，且$\alpha$是第三象限的角，则$\sqrt{\dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}}-\sqrt{\dfrac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}$=______.
选项
选项 A
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选项 C
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{}
正确答案
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解析
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【分析】根据题意结合同角三角关系分析运算，注意三角函数值符号判断. 【详解】因为$\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=2$，则$\left|\dfrac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\right|=2$，解得$\tan\alpha=-3$， 又因为 $\sqrt{\dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}}-\sqrt{\dfrac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}=\sqrt{\dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}}-\sqrt{\dfrac{(1-\sin\alpha)^2}{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)}}=\sqrt{\dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}}-\sqrt{\dfrac{(1-\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}}$， 且$\alpha$是第三象限的角，则$1+\sin\alpha>0,1-\sin\alpha>0,\cos\alpha<0$， 所以$\sqrt{\dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}}-\sqrt{\dfrac{(1-\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}}=\dfrac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}=-2\tan\alpha=-6$. 故答案为：-6.
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