编辑题目 - Q20260425174525640
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题干
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已知$\theta$是三角形的内角，$\dfrac{1}{2}\le\cos\theta+\sin\theta<1$，则$\cos\theta-\sin\theta$的取值范围是______.
选项
选项 A
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选项 C
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{}
正确答案
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解析
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【分析】根据条件，利用平方关系得到$t^2=1+2\cos\theta\sin\theta$，结合条件可得$\theta\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right)$，令$y=\cos\theta-\sin\theta$，从而可得$y=-\sqrt{2-t^2}$，即可求解. 【详解】设$t=\cos\theta+\sin\theta$，则$t^2=1+2\cos\theta\sin\theta$. 因为$t\in\left[\frac{1}{2},1\right)$，所以$\frac{1}{4}\le t^2=1+2\cos\theta\sin\theta<1$，得到$-\frac{3}{4}\le2\cos\theta\sin\theta<0$， 又$\theta\in(0,\pi)$，所以$\theta\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$. 设$y=\cos\theta-\sin\theta$，则$y<0$， 因为$y^2=1-2\cos\theta\sin\theta=2-t^2$，所以$y=-\sqrt{2-t^2}$， 又$t\in\left[\frac{1}{2},1\right)$，则$1<2-t^2\le\frac{7}{4}$，所以$y\in\left[-\frac{\sqrt{7}}{2},-1\right)$， 故答案为：$\left[-\frac{\sqrt{7}}{2},-1\right)$.
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