编辑题目 - Q20260425175054492
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题干
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设$\alpha$为钝角，若直线$x-2y-2=0$与曲线$C：\frac{x^2}{1+\cos\alpha}+\frac{y^2}{\cos\alpha}=1$只有一个公共点，则$C$的离心率为______.
选项
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{}
正确答案
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解析
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【分析】根据曲线方程判断出曲线为双曲线，利用交点个数得直线与双曲线的一条渐近线平行，代入离心率公式计算即可. 【详解】因为$\alpha$为钝角，则$\cos\alpha<0,1+\cos\alpha>0$， 所以曲线$C$表示焦点在$x$轴上的双曲线， 即$a^2=1+\cos\alpha,b^2=-\cos\alpha$， 则$c^2=a^2+b^2=1$，故焦点坐标为$(\pm1,0)$， 又直线$x-2y-2=0$过$(2,0)$，而$(2,0)$点在双曲线内部， 则当直线与双曲线$C$只有一个公共点时，该直线必与一条渐近线平行， 则$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，则$C$的离心率为$e=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$， 故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
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